a/ \(a_k\) lẻ \(\Rightarrow a_k^2\) lẻ

Vế trái là tổng của 2018 số nguyên lẻ \(\Rightarrow\) là một số chẵn

Vế phải là một số lẻ

\(\Rightarrow\) không tồn tại các số \(a_k\) lẻ thỏa mãn

b/ \(4x^2+4y^2+8xy+x^2-2x+1+y^2+2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có;

\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2018}}{a_{2019}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2018}}{a_2+a_3+...+a_{2019}}\)(1)

Ta có:

         \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2018}}{a_{2019}}\Rightarrow\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_2^{2018}}{a_3^{2018}}=...=\frac{a_{2018}^{2018}}{a_{2019}^{2018}}=\frac{a_1\cdot a_2\cdot...a_{2018}}{a_2\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2019}}=\frac{a_1}{a_{2019}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_2^{2018}}{a_3^{2018}}=...=\frac{a_{2018}^{2018}}{a_{2019}^{2018}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2018}}{a_2+a_3+...+a_{2019}}\right)^{2018}\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh

TK: Câu hỏi của Lãnh Hạ Thiên Băng - Toán lớp 6 - Học trực tuyến OLM

Bạn xem lại đề bài dùm

Giả sử trong 2019 số trên không có 2 số nào nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát : g/s : \(a_{2019}>...>a_2>a_1\ge1\)

=> \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2019}^2}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2019^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=2-\frac{1}{2019}< 2\)Vô lí với giả thiết

Vậy điều giả sử là sai

Vậy trong 2019 số tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

Em kiểm tra lại đề bài nhé!

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=.....=\frac{a_{2019}}{a_{2020}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\)

=> \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}...\frac{a_{2019}}{a_{2020}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\right)^{2019}\)

=> \(\frac{a_1}{a_{2020}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\right)^{2019}\)

Bạn xét hiệu là ra nhé :

Đặt : \(Q=a_1^5+.....+a_{2019}^5\)

Xét hiệu : \(Q-P\)

Do vai trò như nhau nên ta xét \(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)-5a⋮30\)